極值點偏移四種題型的解法 四種題型的解法要學會
1、極值點偏移。函式f(x)在x=x0處取得極值,且函式y=f(x)與直線y=b交於A(x1,b),B(x2,b)兩點,則AB的中點為M(,b),那麼極值點x0與x1,x2存在什麼關係呢?有時候x0=,如開口向上的拋物線。而大多數情況下由於極值點兩邊增減的速度不一樣,往往x0≠。
2、分不含引數的問題。函式f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2>2。由f(x1)=f(x2),x1≠x2,不妨設x12,即證:x2>2-x1,因為x11,所以x2,2-x1∈(1,+∞);又f(x)在(1,+∞)遞減,故而只需證明f(x2)F(x),即f(x)-f(2-x)2。
3、含引數的問題。 已知函式f(x)=x-aex有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1+x2>2。函式f(x)的兩個零點等價於方程xe-x=a的兩個實根,令g(x)=xe-x,依題意:g(x1)=g(x2)=a,從而這一問題與例1完全等價。按照例1的思路,可得x1+x2>2。
4、變數分離後再建構函式。函式f(x)=x-aex有兩個不同的零點x1,x2,求證:x1+x2>2。解析:函式f(x)的兩個零點等價於方程xe-x=a的兩個實根,令g(x)=xe-x,依題意:g(x1)=g(x2)=a,從而這一問題與例1完全等價。可得x1+x2>2。
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